Vibrationen Leerlauf bei Klima an

Ein Auto fährt auch ohne Batterie soll heißen, dass z. B. der Zündfunke nicht direkt von der Batterie erzeugt wird.
Wenn er aber schwach anspringt, kann das durchaus mit der Batterie zu tun haben. Oder mit der Lichtmaschine bzw. deren Spannungsregler, die/der die Batterie nicht mehr richtig auflädt.

Nein, eher nicht. Denkbar wäre, dass durch die schwache Batterie einige Steuergeräte nicht genügend Saft bekommen, aber dann hätte man deutlich mehr Probleme bzw. Ausfälle und nicht nur einen unsauberen Lauf des Motors. Dann würde der Motor vermutlich nicht mal laufen. Daher würde ich die Batterie ausschließen.

Der unsaubere Lauf kann mittlerweile grob gesagt über 20 verschiedene Gründe haben. Aber bis man den richtigen Grund getroffen und beseitigt hat, ist man ein paar Tausender ärmer. Oder man liest die dementsprechenden Threads durch und macht Testfahrten. Dazu gehört die Zeit sowie die Freude am Schrauben und das Interesse an der Technik selbst

Es kann auch an primitivsten Sachen wie Kraftstoffqualität oder altem Luftfilter liegen. Oder Falschluft. Oder einer undichten Motorkomponente (z. B. Ventildeckel, Vakuumpumpe).
Es kann einfach sehr vieles sein. Da wird man verrückt dabei.
Es kann genauso ein unauffindbarer Fehler wie verschlissene Nocke sein, oder verdreckte Eingangskanäle.
Kannst z. B. auch die Zündkerzen untersuchen und schauen, ob alle das gleiche Bild haben oder eine verkokt ist.

Du kannst ja mal den Fehlerspeicher auslesen. Evtl. ist da irgendein Hinweis drin, wie z. B. Magnetventile oder Zündaussetzer. Oder irgendein Abgassensor (Lambdasensor, NOx-Sensor).

Kannst auch gerne mal nach "ruckeln wegen schwacher Batterie" googlen, da gibt's ein paar interessante Threads und Beiträge auf die Schnelle hab ich aber keinen Zusammenhang gefunden.