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Dieses Ding pumpt Kühlwasser bei Motorstillstand in den Wärmetauscher im Innenraum. Eine Stauheizung. Die ist bei jedem irgendwann mal kaputt, meine seit der ersten Mondlandung, oder so. 
Hat mit der Zusatzpumpe nichts zu tun. Grundsätzlich gibt es dafür 2 Optionen (abhängig von der Motorisierung):
a) AGR-Thermostat
b) Kühlmittelthermostat
Ich vermute mal, dass der 320si a) nicht hat. Wenn er jetzt im Frühling leichter warm wird als im Winter, ist es b).
Ich kenne den Motor nicht so gut, aber man hört nicht nur gutes über die Standfestigkeit. Das Thermostat solltest du bald instandsetzen.