Ich hatte erst einen ähnlichen Fall. Es war auch ein eindeutiger Unfall ohne Schuldfrage. Hier sehe ich nicht ein, dass ein Anwalt auch noch seinen Reibach macht...
Es kostet natürlich schon Zeit, Telefonate, Schreiben, Scans usw...
Ich hab einen Gutachter beauftragt, der am gleichen Tag vor Ort war. Dessen Rechnung habe ich bei der Versicherung eingereicht, da der Gutachter sehr schnell und zuverlässig ist und ich ihm das mit einer prompten Bezahlung auch honorieren wollte. Jeder seriöse Gutachter rechnet aber auch direkt mit der Versicherung ab.
Im Gutachten war auch der Nutzungsausfall des Wagens beziffert.
Somit habe ich alles selbst eingereicht und nach vielen Telefonaten und Emails (die HDI zögerte die Zahlung drei Monate hinaus) den Schaden endlich beglichen bekommen.
Somit würde ich hier genauso vorgehen. Die Kosten für den Kostenvoranschlag würde ich dann zusätzlich geltend machen - die Umkosten kannst Du ja mit der Rechnung belegen.
Solltest Du die Schadenssumme nicht vorstecken können: dann solltest Du den Schaden am besten gleich der Werkstatt abtreten und einfach reparieren lassen.